Разградња Цхолески-а је посебна врста разградње ЛУ матрице, од енглеског Ловер-Уппер, која се састоји од урачунавања матрице у производ две или више матрица.
Другим речима, декомпозиција Цхолески-а састоји се од изједначавања матрице која садржи исти број редова и колона (квадратна матрица) матрици са нулама изнад главне дијагонале помноженом њеном матрицом транспонованом са нулама испод главне дијагонале.
ЛУ декомпозиција се, за разлику од Цхолески-а, може применити на различите врсте квадратних матрица.
Карактеристике распадања Цхолески
Разградња Цхолески-а састоји се од:
- Горња троугласта квадратна матрица: Квадратна матрица која има само нуле испод главне дијагонале.
- Доња троугласта квадратна матрица: Матрица која има само нуле изнад главне дијагонале.
Математички, ако постоји позитивно одређена симетрична матрица, И, онда постоји доња троугласта симетрична матрица, К, исте димензије као И, резултира:
Горња матрица се појављује као Цхолескијева матрица Е. Ова матрица делује као квадратни корен матрице Е. Знамо да је домен квадратног корена:
(Кс ∈ ℜ: к ≥ 0)
Што је дефинисано у свим ненегативним реалним бројевима. На исти начин као квадратни корен, Цхолески-ова матрица ће постојати само ако је матрица полупозитивно дефинисана. Матрица је полупозитивно дефинисана када главни малолетници имају позитивну или нулту одредницу.
Цхолески-јево распадање И је дијагонална матрица таква да:
Видимо да су матрице квадратне и садрже поменуте карактеристике; троугао нула изнад главне дијагонале у првој матрици и троугао нула испод главне дијагонале у трансформисаној матрици.
Примене разлагања Цхолески-а
У финансијама се користи за трансформисање остварења независних нормалних променљивих у нормалне променљиве корелиране према корелационој матрици И.
Ако је Н вектор независних нормала (0,1), следи да је Н вектор нормала (0,1) корелиран према И.
Пример холеског разлагања
Ово је најједноставнији пример Цхолескијеве декомпозиције јер матрице морају бити квадратне, у овом случају матрица је (2 × 2). Два реда по два ступца. Поред тога, испуњава карактеристике нуле изнад и испод главне дијагонале. Ова матрица је полупозитивна, јер главне малолетнице имају позитивну одредницу. Ми дефинишемо:
Решавање за: ц2 = 4; б · ц = -2; до2+ б2 = 5; имамо четири могуће Цхолески-ове матрице:
На крају израчунавамо да бисмо пронашли (а, б, ц). Једном када их пронађемо, добићемо Цхолески-ове матрице. Израчун је следећи:
