Скуп алгебре - шта је то, дефиниција и концепт

Алгебра скупова је област проучавања, у оквиру математике и логике, усредсређена на операције које се могу изводити између скупова.

Алгебра скупова део је онога што знамо као теорију скупова.

Треба имати на уму да је скуп груписање елемената различитих врста, као што су слова, бројеви, симболи, функције, геометријске фигуре, између осталог.

Поставите операције

Главне операције са скуповима су следеће:

• унија: Обједињавање два или више скупова садржи све елементе који припадају најмање једном од ових скупова. Означено је словом У.

А = (9,34,57,6,9)

Б = (10,41,57,9,16)

АУБ = (9,34,57,6,9,10,41,16)

• Пресек: Пресек два или више скупова укључује елементе које ови скупови деле. Означено је обрнутим У (∩). Пример:

А = (а, р, т, и, ц, о)

Б = (и, н, д, и, ц, о)

А∩Б = (и, ц, о)

• Разлика: Разлика једног скупа у односу на други једнака је елементима првог скупа умањеног за елементе другог. Означено је знаком или -. Посматрано на други начин, к ∈ а А Б ако је к ∈ А, али к ∈ Б. Пример:

А = (21,34,56,17,7)

Б = (78,21,17,36,80)

А-Б = (34,56,7)

• Допуна: Допуна скупа укључује све елементе који нису садржани у том скупу (али који припадају другом универзалном референтном скупу). На то указује натпис Ц. Пример:

А = (3,9,12,15,18)

У (Универзум) = Сви вишекратници од 3 који су цели природни бројеви мањи од 30.

ДО^Ц.=(6,21,24,27)

• Симетрична разлика: Симетрична разлика два скупа укључује све елементе који се налазе у једном или другом, али не оба истовремено. Односно, то је унија скупова умањена за њихов пресек. Његов симбол је Δ. Пример:

А = (17.81.99.131.65.32)

Б = (11.54.71.65.99.27)

АΔБ = (17,81,131,32,11,54,71,27)

• Декартов производ: То је операција која резултира новим скупом, који као елементе садржи уређене парове или корпе (уређене серије) елемената који припадају двама или више скупова. Они су поредани парови ако су два скупа и тупле ако имамо више од два скупа. Пример:

А = (8,15,6,51)

Б = (к, и)

АкБ = ((8, к), (8, и), (15, к), (15, и), (6, к), (6, и), (51, к), (51, и) )

БкА = ((к, 8), (к, 15), (к, 6), (к, 51), (и, 8), (и, 15), (и, 6), (и, 51) )

Закони постављене алгебре

Закони алгебре скупова су следећи:

• Идемпотенција: Унија или пресек скупа са собом резултира истим скупом:

КСУКС = Кс

Кс∩Кс = Кс

• Комутативно: Редослед фактора не мења резултат при проналажењу уније или пресека скупова:

КСУИ = КСУИ

Кс∩И = Кс∩И

• Дистрибутивни: Унија скупа Кс, са пресеком два друга скупа И и З, једнака је пресеку уније Кс и И, са унијом Кс и З. То је:

КСУ (И∩З) = (КСУИ) ∩ (КСУЗ)

Даље, исто важи и ако обрнемо редослед операција:

Кс∩ (ИУЗ) = (Кс∩И) У (Кс∩З)

• Удружење: Термини операције спајања или пресека неколико скупова могу се нејасно груписати, увек добијајући исти резултат:

КСУ (КСУИ) = (КСУИ) УЗ

Кс∩ (Кс∩И) = (Кс∩И) ∩З

• Морганов закон: Допуна уније два скупа једнака је пресеку њихових комплемената, а допуна пресека два скупа једнака је унији њихових комплемената.

(КСУИ)^Ц.= Кс^Ц.∩И^Ц.

(Кс∩И)^Ц.= Кс^Ц.Уи^Ц.

• Закон о разликама: Разлика једног скупа у односу на други једнака је пресеку првог са комплементом другог:

(Кс-И) = Кс∩И^Ц.

• Допунски закони:
  • Удруживање скупа са његовим комплементом није једнако универзалном скупу. КСУКС^Ц.= У
  • Пресек скупа са његовим комплементом једнак је нулу или празном скупу. Кс∩Кс^Ц.=∅
  • Допуна комплемента скупа Кс једнака је скупу Кс. (Кс^Ц.)^Ц.= Кс
  • Допуна универзалног скупа једнака је нулу или празном скупу. Икс^Ц.=∅
  • Допуна празног скупа једнака је универзалном скупу. ∅^Ц.= У

• Закони апсорпције:
  • КСУ (Кс∩И) = Кс
  • Кс∩ (КСУИ) = Кс
  • КСУ (Кс^Ц.∩И) = КСУИ
  • Кс∩ (Кс^Ц.УИ) = Кс∩И