Функционалне једначине су оне које имају другу функцију као непознату. Функција која се може повезати са алгебарском операцијом као што је сабирање, одузимање, дељење, множење, степен или корен.
Функционалне једначине се такође могу дефинисати као оне које није лако свести на алгебарску функцију, типа ф (к) = 0, ради њихове резолуције.
Функционалне једначине су окарактерисане јер не постоји јединствени начин њиховог решавања. Поред тога, променљива о којој је реч може имати различите вредности (видећемо то на примерима).
Примери функционалних једначина
Неки примери функционалних једначина су:
ф (ки) = ф (к) .ф (и)
ф (к2+ и2) = ф (ки)2/2
ф (к) = ф (к + 3) / к
У случајевима попут претходних, може се додати, на пример, да к припада скупу реалних бројева, односно к ∈ Р (нула се може изузети).
Примери функционалних једначина
Погледајмо неколико примера решених функционалних једначина:
ф (1 / 2к) = к-3ф (к)
Дакле, ако заменим к са 1 / 2к:
ф (1/2 (1 / 2к)) = (1 / 2к) -3ф (1 / 2к)
ф (к) = (1 / 2к) -3ф (1 / 2к)
ф (к) = (1 / 2к) -3 (к-3ф (к))
ф (к) = (1 / 2к) -3к + 9ф (к)
8ф (к) = 3к- (1 / 2к)
ф (к) = (3/8) к- (1/16к)
Сада, да видимо још један пример са мало више потешкоћа, али где ћемо наставити на сличан начин:
Икс2ф (к) -ф (5-к) = 3к… (1)
У овом случају, прво решавамо за ф (5-к)
ф (5-к) = к2ф (к) -3к… (2)
Сада у једначини 1 замењујем к са 5-к:
(5-к)2ф (5-к) -ф (5- (5-к)) = 3 (5-к)
(25-10к + к2) .ф (5-к) -ф (к) = 15-3к
Сетимо се да је ф (5-к) у једначини 2:
(25-10к + к2). (Икс2ф (к) -3к) -ф (к) = 15-3к
25к2-75к-10к3ф (к) + 30к2+ к4ф (к) -3к3-ф (к) = 15-3к
ф (к) (к4-10к3-1) = 3к3-55к2+ 72к
ф (к) = (3к3-55к2+ 72к) / (к4-10к3-1)
Цауцхијева функционална једначина
Функција Цауцхија једна је од најосновнијих ове врсте. Ова једначина има следећи облик:
ф (к + и) = ф (к) + ф (и)
Под претпоставком да су к и и у скупу рационалних бројева, решење ове једначине говори нам да је ф (к) = цк, где је ц било која константа, а исто се дешава и са ф (и).