Линеарна комбинација вектора се дешава када се вектор може изразити као линеарна функција осталих вектора који су линеарно независни.
Другим речима, линеарна комбинација вектора је да се вектор може изразити као линеарна комбинација других вектора који су линеарно независни један од другог.
Захтеви за линеарну комбинацију вектора
Линеарна комбинација вектора мора да испуњава два захтева:
- Да се вектор може изразити као линеарна комбинација других вектора.
- Нека ови остали вектори буду линеарно независни један од другог.
Линеарна комбинација у рачунању
У основној математици смо навикли да често виђамо линеарне комбинације, а да то не схватамо. На пример, линија је комбинација једне променљиве у односу на другу, тако да:
Али корени, логаритми, експоненцијалне функције … више нису линеарне комбинације, јер пропорције не остају константне за целу функцију:
Дакле, ако говоримо о линеарној комбинацији вектора, структура једначине ће имати следећи облик:
Како говоримо о векторима, а претходна једначина односи се на променљиве, за изградњу комбинације вектора морамо само заменити променљиве векторима. Нека буду следећи вектори:
Дакле, можемо их написати као линеарну комбинацију на следећи начин:
Вектори су линеарно независни један од другог.
Грчко писмо ламбда делује као параметар м у општој једначини праве. Ламбда ће бити било који стварни број и, ако се не појави, каже се да је његова вредност једнака 1.
То што су вектори линеарно независни значи да се ниједан од вектора не може изразити линеарном комбинацијом осталих. Познато је да независни вектори чине основу простора и зависни вектор такође припада том простору.
Пример паралелепипеда
Претпостављамо да имамо три вектора и желимо да их изразимо као линеарну комбинацију. Такође знамо да сваки вектор долази из истог темена и чини апсцису тог темена. Геометријска фигура је паралелепипед. Будући да нас обавештавају да је геометријска фигура коју ови вектори чине апсциса паралелепипеда, онда вектори ограничавају лица фигуре.
Прво, морамо знати да ли су вектори линеарно зависни. Ако су вектори линеарно зависни, онда од њих не можемо формирати линеарну комбинацију.
Три вектора:
Како можемо знати да ли су вектори линеарно зависни ако нам не дају информације о својим координатама?
Па, користећи логику. Да су вектори линеарно зависни, тада би се сва лица паралелепипеда срушила. Другим речима, били би исти.
Стога можемо изразити нови вектор в као резултат линеарне комбинације претходних вектора:
Вектор који представља комбинацију претходних вектора:
Графички:
