Тејлоров полином - шта је то, дефиниција и појам

Таилоров полином је полиномска апроксимација функцијен пута изведљива у одређеној тачки.

Другим речима, Тејлоров полином је коначни збир локалних деривата процењених у одређеној тачки.

Математички

Ми дефинишемо:

ф (к): функција Икс.

ф (к₀): функцијаИксу одређеној тачки х₀. Формално је написано:

Ф^(н)(Икс):н-ти извод функције ф (к).

Апликације

Тејлорово проширење се генерално примењује на финансијска средства и производе чија се цена изражава као нелинеарна функција. На пример, цена краткорочне дужничке хартије од вредности је нелинеарна функција која зависи од каматних стопа. Други пример би биле опције, где су и фактори ризика и профитабилност нелинеарне функције. Израчун трајања везе је Тејлоров полином првог степена.

Пример Тејлоровог полинома

Желимо да пронађемо други ред Таилорове апроксимације функције ф (к) у тачки к₀=1.

1. Правимо релевантне изводе функције ф (к).

У овом случају, питају нас до другог реда, па ћемо направити први и други извод функције ф (к):

• Први дериват:

• Други дериват:

2. Замењујемо х₀= 1 у ф (к), ф '(к) и ф' '(к):

3. Једном када имамо вредност деривата у тачки к₀= 1, замењујемо је у Таилоровој апроксимацији:

Неколико поправљамо полином:

Провера вредности

Таилорова апроксимација ће бити одговарајућа што је ближе к₀ бити вредности. Да бисмо то проверили, замењујемо вредности близу к₀ и у оригиналној функцији и у горњој Таилоровој апроксимацији:

Када је х₀=1

Оригинална функција:

Тејлорова апроксимација:

Када је х₀=1,05

Оригинална функција:

Тејлорова апроксимација:

Када је х₀=1,10

Оригинална функција:

Тејлорова апроксимација:

У првом случају када је х₀= 1, видимо да нам и оригинална функција и Таилорова апроксимација дају исти резултат. То је због састава Таилоровог полинома који смо креирали користећи локалне деривате. Ови деривати су процењени у одређеној тачки, к₀= 1, како би се добила вредност и створио полином. Дакле, што је даље од те одређене тачке, к₀= 1, то ће апроксимација бити мање прикладна за оригиналну нелинеарну функцију. У случајевима када је к₀= 1,05 и х₀= 1,10 постоји значајна разлика између резултата оригиналне функције и Таилорове апроксимације.

Али … разлика је врло мала, зар не?

Тејлоров полиномни приказ

Ако продужимо крајности (где се апроксимација удаљава од к₀=1):

На први поглед може изгледати безначајно, али када радимо на графикону и правимо апроксимације, врло је важно узети у обзир барем прве четири децимале. Основа апроксимација је прецизност.