Поиссонова расподела је дискретна расподела вероватноће која моделира учесталост одређених догађаја током одређеног временског интервала на основу просечне учесталости појављивања ових догађаја.
Другим речима, Поиссонова расподела је дискретна расподела вероватноће која, само познавањем догађаја и њихове просечне учесталости појаве, можемо знати њихову вероватноћу.
Израз Пуисонове дистрибуције
С обзиром на дискретну случајну променљиву Кс, кажемо да се њена фреквенција може на задовољавајући начин приближити Поиссоновој расподели, тако да:
За разлику од нормалне расподеле, Поиссонова расподела зависи само од једног параметра, му (означено жутом бојом).
Му извештава о очекиваном броју догађаја који ће се догодити у задатом временском интервалу. Када говоримо о нечему "очекиваном", морамо то преусмерити да размислимо о средњој вредности. Стога је му средња вредност учесталости догађаја.
И средња вредност и варијанса ове расподеле су врло строго позитивни.
Заступање
С обзиром на Поисонову расподелу са средњом вредношћу 2, расподела вероватноће густине је следећа:
Функција је дефинисана само на целобројним вредностима к.
Неће све расподеле вероватноће Поиссонове густине изгледати једнако чак и ако узорак остане исти. Ако променимо средњу вредност, односно параметар од којег функција зависи, промениће се и функција.
Функција густине вероватноће (пдф)
Ова функција се схвата као вероватноћа да случајна променљива Кс заузме одређену вредност к. То је експоненцијал негативне средине помножене са средином подигнутом у посматрање и све подељене са фактором посматрања.
Као што је назначено, да бисмо знали вероватноћу сваког посматрања, мораћемо да заменимо сва запажања у функцији. Другим речима, к је вектор димензије н који садржи сва запажања случајне променљиве Кс. Средња вредност такође би био вектор, али једне димензије, такав да:
Једном када имамо израчунате вероватноће, заједно са запажањима можемо извући расподелу густине вероватноће.
Прича
Име ове дистрибуције потиче од њеног творца, Симеон-Денис Поиссон-а (1781-1840), француског математичара и филозофа, који је желео да моделира учесталост догађаја током одређеног временског интервала. Такође је учествовао у усавршавању закона великих бројева.
Апликација
Поиссонова расподела се користи у пољу оперативног ризика како би се моделирале ситуације у којима долази до оперативног губитка. У тржишном ризику, Поиссонов процес се користи за време чекања између финансијских трансакција у високофреквентним базама података. Такође, кредитни ризик се узима у обзир за моделирање броја банкрота.
Пример
Претпостављамо да смо у зимској сезони и желимо на скијање пре децембра. Вероватноћа да ће се скијалишта отворити пре децембра је 5%. Од 100 скијалишта желимо да знамо вероватноћу да се најближе скијалиште отвори пре децембра. Процена овог скијалишта је 6 бодова.
Улази потребни за израчунавање функције вероватноће Поиссонове густине су скуп података и му:
- Скуп података = 100 скијалишта.
- Му = 5% * 100 = 5 је очекивани број скијалишта с обзиром на скуп података.
Дакле, најближа станица има 14,62% шансе да се отвори пре децембра.
Вероватноћа учесталости