Антисиметрична матрица је квадратна матрица где су елементи изван главне дијагонале симетрично једнаки, али они испод главне дијагонале носе негативан предзнак.
Другим речима, антисиметрична матрица је матрица која има једнак број редова (н) и ступаца (м), а елементи на обе стране главне дијагонале се допуњују.
С обзиром да су елементи изнад и испод главне дијагонале померени, елементи на главној дијагонали су нуле.
Препоручени чланак: несиметрична матрица и симетрична матрица.
Карактеристике антисиметричне матрице
Карактеристике антисиметричне матрице су:
- Квадратна матрица.
- Симетрична матрица + негативни предзнак (-) у елементима испод главне дијагонале.
- Елементи главне дијагонале су нуле (0).
Антисиметрична матрица
Дата је квадратна матрица АЦЕ,
Можемо видети како се исти елементи појављују на обе стране главне дијагонале, али с посебношћу да елементи испод главне дијагонале имају негативан предњи знак. Такође, главну дијагоналу чине нуле.
Антисиметрична матрица и огледала
На исти начин као и симетрична матрица, антисиметрична матрица се такође може разумети кроз пример огледала.
Ако се погледамо у огледалу и подигнемо десну руку, видећемо да особа у огледалу подиже леву руку. Другим речима, кретање огледала допуњује наше и зато би збир оба резултирао нулом.
Горњу идеју можемо изразити на следећи начин и закључити:
(Подигните руку јел тако) - (Подигните руку лево) = 0
(Подигните руку јел тако) = (Подигните руку лево)
Главна дијагонала делује као огледало и видимо супротстављене елементе на обе стране главне дијагонале. Неутрална функција (=) пресликава се на главну дијагоналу.
Имовина
- Транспонована матрица антисиметричне матрице једнака је антисиметричној матрици помноженој са (-1).
Другим речима, то би било као да додате негативни знак испред антисиметричне матрице.
Математички,
Можемо видети да са оба поступка долазимо до истог резултата: прављење матрице транспоноване или множење са (-1) антисиметричном матрицом.
Несиметрична матрица вс Антисиметрична матрица вс Симетрична матрица
Пример огледала у случају симетричне матрице довољан је да одражава исто кретање, односно ако подигнемо руку, можемо видети подигнуту руку, али није потребно прецизирати шта је то. У случају антисиметричне матрице, морамо проверити који крак видимо у огледалу и утврдити да ли је то антисиметрична матрица.
Ако подигнемо руку и у огледалу видимо да …
- Иста рука је подигнута, са становишта особе у огледалу, онда је то симетрична матрица.
- Супротна рука је подигнута, са становишта особе у огледалу, онда је то антисиметрична матрица.
- Ако ниједна рука није подигнута или је подигнута више од једне, са становишта особе у огледалу, онда је то несиметрична матрица.