Линеарна трансформација матрица

Линеарна трансформација матрица су линеарне операције кроз матрице које модификују почетну димензију датог вектора.

Другим речима, димензију вектора можемо изменити множењем било које матрице.

Линеарне трансформације су основа вектора и сопствених вредности матрице, јер линеарно зависе једна од друге.

Препоручени чланци: операције са матрицама, векторима и сопственим вредностима.

Математички

Ми дефинишемо матрицуЦ. било која димензија 3 × 2 помножена са вектором В димензијен = 2 такав да је В = (в₁, в₂).

Које димензије ће бити вектор резултата?

Вектор који је резултат производа матрицеЦ._3×2са векторомВ._2×1биће нови В 'вектор димензије 3.

Ова промена димензија вектора настала је услед линеарне трансформације кроз матрицу Ц..

Практични пример

С обзиром на квадратну матрицуР. са димензијом 2 × 2 и векторомВ. димензије 2.

Линеарна трансформација димензије вектораВ. То је:

где је почетна димензија вектора В. је била 2 × 1 и сада коначна димензија вектора Видиш3 × 1. Ова промена димензија постиже се множењем матрице Р..

Могу ли се ове линеарне трансформације представити графички? И наравно!

Представљаћемо вектор резултата В 'у равни.

Онда:

В = (2,1)

В ’= (6,4)

Графички

Властити вектори који користе графички приказ

Како можемо да утврдимо да је вектор сопствени вектор дате матрице само гледајући графикон?

Ми дефинишемо матрицуД. димензије 2 × 2:

Да ли су вектори в₁= (1,0) и в₂= (2,4) сопствени вектори матрице Д.?

Процес

1. Кренимо од првог вектора в₁. Вршимо претходну линеарну трансформацију:

Па ако је вектор в₁ је својствени вектор матрице Д., резултујући вектор в₁'И вектор в₁треба да припадају истој линији.

Заступамо в₁ = (1,0) и в₁’ = (3,0).

Пошто су обојица в₁као В.₁’Припадати истој линији, в₁ је својствени вектор матрице Д..

Математички постоји константах(сопствена вредност) такав да:

2. Настављамо са другим вектором в₂. Понављамо претходну линеарну трансформацију:

Па ако је вектор в₂ је својствени вектор матрице Д., резултујући вектор в₂'И вектор в₂ треба да припадају истој линији (као и горњи графикон).

Заступамо в₂ = (2,4) и в₂’ = (2,24).

Пошто је в₂ и В.₂’Не припадају истој линији, в₂ није својствени вектор матрице Д..

Математички, нема константех(сопствена вредност) такав да: