Експоненцијална функција је основа континуираног мешања, што је резултат бесконачног повећања (када п тежи ка бесконачности) учесталости израчунавања камате у једињењу.
Другим речима, експоненцијална функција је сложена мешавина у којој су временски периоди између обрачуна камата бесконачно мали (врло мали).
Формула за експоненцијалну функцију је:
Непрекидно састављање може се изразити као
Разумне сличности између континуираног писања великих слова и експоненцијалне функције, зар не?
Дефинишемо променљиве континуиране употребе великих слова:
- Ц.т + 1: капитал у тренутку т + 1 (касније).
- Ц.т: капитал у тренутку т (тренутно).
- ит: каматна стопа у тренутку т.
- п: учесталост састављања или периодичност.
- т: време.
Апликације
У финансијама често налазимо експоненцијалну функцију у формули за континуирану капитализацију будућег дохотка и у неким економетријским регресијама.
У економији није толико популаран јер већина микроекономских и макроекономских модела претпоставља смањење граничних приноса на своје производне факторе. Сходно томе, они претпостављају да фактори следе логаритамске приносе и, према томе, враћа се супротно експоненцијалној функцији.
Пример експоненцијалне функције
Претпостављамо да смо амерички инвеститор који жели да изгради ски стазу у месту Пицо Боливар, Венецуела. Почетна инвестиција је 100 милиона долара по годишњој каматној стопи од 100%. Овај инвеститор има довољну преговарачку моћ да одреди периодичност обрачуна камате на његову инвестицију.
Какву ће алтернативу преферирати амерички инвеститор?
Да бисмо одговорили на питање, мораћемо да израчунамо капитал на време т + 1 (Ц.т + 1) које ће инвеститор добити.
Доступне информације:
Ц.т: 100 милиона долара
ит: 100%
т: 1 (годишње)
Ц.т + 1: ?
| Алтернативе | ДО | Б. | Ц. | Д. | И | Ф |
| Периодичност | 1 | 2 | 50 | 100.000 | 10.000.000 | 1.000.000.000 |
Информације које имамо замењујемо у две формуле (функција експ. И континуирано писање великих слова)
Податке третирамо избегавајући ММ.
Делимо (В.т + 1) на 100 у експоненцијалној функцији за уклањање ефекта капитала. На тај начин померамо запету за два места напред. Због тога је овај ефекат видљив у следећим колонама резултата.
Резултати:
| Формула | Континуирано мешање | Експоненцијална функција |
| Периодичност (п) или (н) | Ц.т + 1 | Ц.т + 1/100 |
| 1 | 200 | 2 |
| 2 | 225 | 2,25 |
| 50 | 269,1588029 | 2,691588029 |
| 100.000 | 271,8268237 | 2,718268237 |
| 10.000.000 | 271,8281694 | 2,718281694 |
| 1.000.000.000 | 271,8282031 | 2,718282031 |
Када н или п теже ка бесконачности, у овом случају од 10.000.000, можемо видети да се вредности конвергирају на одређени број. За континуирано мешање износи 271,8281, а за експоненцијалну функцију 2,718281. Две серије се конвергирају даље и.
Одговор на вежбање решен
Дакле, какву ће алтернативу на крају изабрати амерички инвеститор, ако из одређеног броја периодичности капитал на т + 1 (Цт + 1) стаје на одређеној вредности?
- Ако овај инвеститор третира капитал као дискретну променљиву, тада ће изабрати алтернативу Д. Пошто је од алтернативе Ц капитал на т + 1 (Цт + 1) конвергира на 271 мил. УСД.
- Ако овај инвеститор третира капитал као континуирану променљиву, тада ће изабрати алтернативу са више периодичности. У овом случају, алтернатива Ф. Чак и ако се на крају приближи вредности, инвеститор узима у обзир све децимале.
Ова конвергенција подразумева да је капитал при т + 1 (Ц.т + 1), израчунато помоћу формуле континуираног сложења или експоненцијалне функције, следи опадајући маргинални принос. Другим речима, (Ц.т + 1) може се изразити као логаритамска функција.
Шематски:
- Периодичност = експоненцијална функција.
- Капитал да т + 1 (Ц.т + 1) = логаритамска функција.
Графички приказ
На графикону можете видети како експоненцијална функција, која је бесконачно континуирана, расте много брже од ограничене континуиране употребе великих слова. Када говоримо о континуираној капитализацији, мислимо на неку врсту сложене капитализације, али са већом периодичношћу, јер је у пракси немогуће бескрајно капитализирати камате. Мислим, не можемо искористити сваку секунду.
