Баиесова теорема се користи за израчунавање вероватноће догађаја, имајући унапред информације о том догађају.
Можемо израчунати вероватноћу догађаја А, такође знајући да тај А испуњава одређену карактеристику која одређује његову вероватноћу. Баиесова теорема вероватноћу разуме обрнуто од теореме укупне вероватноће. Из теореме о укупној вероватноћи закључује се о догађају Б на основу резултата догађаја А. Са своје стране, Баиес израчунава вероватноћу А условљену Б.
Баиес-ова теорема је широко испитивана. Што је углавном због лоше примене. Будући да су испуњене претпоставке дисјункторских и исцрпних догађаја, теорема је потпуно валидна.
Формула Баиесове теореме
Да бисмо израчунали вероватноћу како је Баиес дефинисао у овој врсти догађаја, потребна нам је формула. Формула је математички дефинисана као:
Где је Б догађај о којем имамо претходне информације, а А (н) су различити условљени догађаји. У делу бројила имамо условну вероватноћу, а у доњем укупну вероватноћу. У сваком случају, иако формула делује помало апстрактно, врло је једноставна. Да бисмо то демонстрирали, послужићемо се примером где ћемо уместо А (1), А (2) и А (3) директно користити А, Б и Ц.
Пример Баиесове теореме
Компанија има фабрику у Сједињеним Државама која има три машине, А, Б и Ц, које производе контејнере за боце са водом. Познато је да машина А производи 40% укупне количине, машина Б 30%, а машина Ц 30%. Такође је познато да свака машина производи неисправну амбалажу. На тај начин што машина А производи 2% неисправних пакета укупне производње, машина Б 3%, а машина Ц 5%. Међутим, постављају се два питања:
П (А) = 0,40 П (Д / А) = 0,02
П (Б) = 0,30 П (Д / Б) = 0,03
П (Ц) = 0,30 П (Д / Ц) = 0,05
1. Ако је контејнер произвела фабрика ове компаније у Сједињеним Државама, која је вероватноћа да је неисправан?
Израчунава се укупна вероватноћа. Пошто на основу различитих догађаја израчунавамо вероватноћу да је неисправан.
П (Д) = (П (А) к П (Д / А)) + (П (Б) к П (Д / Б)) + (П (Ц) к П (Д / Ц)) = (0, 4 к 0,02) + (0,3 к 0,03) + (0,3 к 0,05) = 0,032
Изражени у процентима, рекли бисмо да је вероватноћа да је контејнер произведен у фабрици ове компаније у Сједињеним Државама неисправан 3,2%.
2. Настављајући са претходним питањем, ако је контејнер набављен и ако је неисправан, колика је вероватноћа да га је произвела машина А? И машина Б? И машина Ц?
Овде се користи Баиесова теорема. Имамо претходне информације, односно знамо да је амбалажа неисправна. Наравно, знајући да је неисправан, желимо да знамо која је вероватноћа да га је произвела једна од машина.
П (А / Д) = (П (А) к П (Д / А)) / П (Д) = (0,40 к 0,02) / 0,032 = 0,25
П (Б / Д) = (П (Б) к П (Д / Б)) / П (Д) = (0,30 к 0,03) / 0,032 = 0,28
П (Ц / Д) = (П (Ц) к П (Д / Ц)) / П (Д) = (0,30 к 0,05) / 0,032 = 0,47
Знајући да је контејнер неисправан, вероватноћа да га је произвела машина А је 25%, да га је произвела машина Б износи 28% и да га је произвела машина Ц 47%.