Математичко очекивање случајне променљиве Кс је број који изражава средњу вредност појаве коју ова променљива представља.
Математичко очекивање, које се назива и очекивана вредност, једнако је збиру вероватноћа да постоји случајни догађај, помножен са вредношћу случајног догађаја. Другим речима, то је средња вредност скупа података. Ово узимајући у обзир да је појам математичко очекивање скован теоријом вероватноће.
Док се у математици просечна вредност догађаја који се догодио назива математичком средином. У дискретним расподелама са истом вероватноћом у сваком догађају, аритметичка средина је иста као и математичко очекивање.
Пример математичког очекивања
Погледајмо једноставан пример да то разумемо.
Замислимо новчић. Две главе, главе и репови. Какво би било математичко очекивање (очекивана вредност) да ће изаћи главом?
Математичко очекивање израчунало би се као вероватноћа да ће, бацајући новчић врло велики број пута, доћи до изражаја.
С обзиром да новчић може да слети само на једно од та два положаја и оба имају исту вероватноћу да изађу, рећи ћемо да је математичко очекивање да ће изаћи главом једно од два, или што је исто, 50% време.
Направићемо тест и бацићемо новчић 10 пута. Претпоставимо да је новчић савршен.
Окретање и резултат:
- Скупо.
- Крст.
- Крст.
- Скупо.
- Крст.
- Скупо.
- Скупо.
- Скупо.
- Крст.
- Крст.
Колико пута је било глава (рачунамо слова Ц)? 5 пута Колико пута су изашли репови (рачунамо Кс)? 5 пута. Вероватноћа да ћете бити глава биће 5/10 = 0,5 или, као проценат, 50%.
Једном када се тај догађај догодио, можемо израчунати математичку средину броја догађаја сваког догађаја. Скупа страна је изашла свака два пута, то јест 50% времена. Средња вредност одговара математичким очекивањима.
Прорачун математичког очекивања
Математичко очекивање израчунава се користећи вероватноћу сваког догађаја. Формула која формализује овај прорачун наводи се на следећи начин:
Где:
- Икс = вредност догађаја.
- П. = Вероватноћа да се догоди.
- и = Период у којем се овај догађај дешава.
- Н. = Укупан број периода или запажања.
Вероватноћа да се догађај догоди није увек иста као код новчића. Постоји безброј случајева у којима је већа вероватноћа да ће изаћи један догађај него други. Због тога користимо П. У формули такође морамо множити са вредношћу догађаја приликом израчунавања математичких бројева. Испод видимо пример.
За шта се користи математичко очекивање?
Математичко очекивање се користи у свим оним дисциплинама у којима им је својствено присуство вероватноћа. Дисциплине као што су теоријска статистика, квантна физика, економетрија, биологија или финансијско тржиште. Велики број процеса и догађаја који се дешавају у свету су нетачни. Јасан и лако разумљив пример је пример берзе.
На берзи се све израчунава на основу очекиваних вредности. Зашто очекиване вредности? Јер то је оно што се надамо да ће се догодити, али не можемо то потврдити. Све се заснива на вероватноћама, а не на извесностима. Ако је очекивана вредност или математичко очекивање поврата имовине 10% годишње, то значи да ће, на основу информација које имамо из прошлости, највероватније повратак поново бити 10%. Ако само узмемо у обзир математичка очекивања као метод доношења одлука о улагању.
У оквиру теорија финансијског тржишта, многи користе овај концепт математичких очекивања. Међу тим теоријама је и она коју је Марковитз развио на ефикасним новчаницима.
У бројкама, које поједностављују, претпоставимо да су приноси финансијског средства следећи:
Профитабилност у годинама 1, 2, 3 и 4.
- 12%.
- 6%.
- 15%
- 12%
Очекивана вредност била би збир приноса помножен са њиховом вероватноћом да се догоди. Вероватноћа да се свака профитабилност „догоди“ је 0,25. Имамо четири запажања, четири године. Сваке године имају исту вероватноћу да се понове.
Нада = (12 к 0,25) + (6 к 0,25) + (15 к 0,25) + (12 к 0,25) = 3 + 1,5 + 3,75 + 3 = 11,25%
Узимајући у обзир ове информације, рећи ћемо да је очекивани принос на имовину 11,25%.
Очекивано трајање живота