Гаусс-Марковљева теорема је скуп претпоставки које мора да испуни проценитељ ОЛС (Ординари Леаст Скуарес), да би се могао сматрати ЕЛИО (Оптимални линеарни непристрасни процењивач). ИГаусс-Марковљеву теорему формулисали су Царл Фриедерицх Гаусс и Андреи Марков.
Царл Фриедерицх Гаусс и Андреи Марков утврдили су неке претпоставке како би ОЛС процењивач могао постати ЕЛИО.
Ако су ових 5 претпоставки испуњене, можемо потврдити да је процењивач онај са минималном варијансом (најпрецизнијом) свих линеарних и непристрасних процењивача. У случају да било која од претпоставки прве три пропадне (Линеарност, Нулто средња строга егзогеност или Нема савршене мултиколинеарности), ОЛС процењивач више није непристрасан. Ако откаже само 4 или 5 (хомосцедастичност и без аутокорелације), процењивач је и даље линеаран и непристрасан, али више није најтачнији. Резимирајући, Гаусс-Марковљева теорема каже да:
- Према претпоставкама 1, 2 и 3, ОЛС процењивач је линеаран и непристрасан. Сада, не док су испуњене прве три претпоставке, може се осигурати да је процењивач непристрасан. Да би процењивач био доследан, морамо имати велики узорак, што више то боље.
- Према претпоставкама 1, 2, 3, 4 и 5, ОЛС процењивач је линеаран, непристрасан и оптималан (ЕЛИО).
Претпоставке Гаусс-Марковљеве теореме
Конкретно, постоји 5 претпоставки:
1. Линеарни модел у параметрима
То је прилично флексибилна претпоставка. Омогућава употребу функција променљивих од интереса.
2. Нулта средња и строга егзогеност
То подразумева да је средња вредност грешке условљена објашњењима једнака безусловно очекиваној вредности и једнака нули. Даље, стриктна егзогеност захтева да грешке модела не буду повезане са било којим запажањима.
Нулл меан:
Строга егзогеност:
Нулта средња и строга егзогеност пропадају ако:
- Модел је слабо специфициран (на пример, изостављање релевантних променљивих).
- У променљивим постоје грешке мерења (подаци нису прегледани).
- У временским серијама, стриктна егзогеност не успева у одложеним моделима ендогености (иако истовремено може постојати егзогеност) и у случајевима када постоје повратни ефекти.
У подацима о пресеку много је лакше постићи претпоставку егзогености него у случају временских серија.
3. Нема тачне мултиколинеарности
У узорку ниједна варијабла објашњења није константна. Не постоје тачни линеарни односи између објашњавајућих променљивих. Не искључује неку (не савршену) корелацију између променљивих. Према Гаусу и Маркову, када модел има тачну мултиколинеарност, то је обично последица грешке аналитичара.
4. Хомосцедастичност
Варијанса грешке, а самим тим и И, неовисна је о објашњеним вредностима и, поред тога, о варијанси константне грешке. Математички се изражава као:
Ево низа података хомосцедастичног изгледа.
5. Нема аутокорелације
Термини грешака два различита посматрања условљена са Кс нису повезани. Ако је узорак случајан, неће бити аутокорелације.
Где морам да имам вредност различиту од х. Ако је узорак случајан, подаци и грешке посматрања „и“ и „х“ биће независни за било који пар посматрања „и“ и „х“.
