Тетраедар је полиедар са четири лица, шест ивица и четири темена. То је тродимензионална фигура коју чини неколико полигона који су, у овом случају, троуглови.
Карактеристично је да је тетраедар најједноставнији од полиедара и једини који има мање од пет страница.
Вреди напоменути да је тетраедар пирамида са троугластом основом.
Елементи тетраедра
Елементи тетраедра који нас воде са доње слике су:
- Лица: То су странице тетраедра који су, као што смо споменули, троуглови (АБЦ, АДЦ, АДБ и БДЦ.
- Ивице: То је спој два лица: АБ, АЦ, АД, БЦ, ЦД и ДБ.
- Врхови: То су оне тачке на којима се ивице спајају: А, Б, Ц и Д.
- Двострани угао: Настаје спајањем два лица.
- Угао полиедра: То је оно што чине странице које се подударају у једном врху.
Површина и запремина тетраедра
Да бисмо знали карактеристике тетраедра, можемо израчунати:
- Површина: Морала би се додати површина четири троугла која чине полиедар. У том смислу, морамо запамтити да се површина троугла израчунава множењем основице висине и дељењем са 2 (А = бкх / 2)
- Обим: То би се израчунало према следећој формули
У формули је б било која страна полиедра, а х висина или сегмент који спаја б са својим супротним врхом. Поред тога, висина је окомита на подножје (чине прави угао или који мери 90º).
Редовни тетраедар
Када су сви троуглови који чине тетраедар међусобно једнакостранични троуглови, суочени смо са правилним тетраедром. Односно, то би био случај правилног полиедра, чија су лица иста и свако је такође правилан полигон.
У овом тренутку морамо запамтити да је правилан полигон онај где су све странице исте дужине, а такође су и њихови унутрашњи углови једнаки.
Подсетимо се тада да се површина (А) једнакостраничног троугла може израчунати помоћу Херонове формуле где су а, б и ц мере страница и с је полупериметар, што је периметар (П) између два.
Онда да:
П = а + б + ц = а + а + а = 3а
Морамо да:
Затим, пошто постоје четири троугла, множимо површину сваког од 4 да бисмо пронашли површину тетраедра (АТ):
С друге стране, ако желимо да израчунамо запремину, морамо пронаћи висину полиедра. Да бисмо то урадили, водићемо се следећом сликом:
Прво ћемо израчунати висину (х) основе (троугао АБЦ у овом примеру), а то је сегмент ЕБ. Угао Кс мери 90º, па Питагорина теорема мора бити испуњена, а хипотенуза (БА), која мери а (дужина свих ивица у овом тетраедру), једнака је збиру сваке квадратне ноге. Једна од катета је ЕА, средина је сегмента АЦ (Е пресеца бочну страну на два једнака дела) и мери а / 2. Такође, друга нога је висина основе (х или ЕБ).
Тада ће, по својству правилног тетраедра, при чему је Ф средиште троугла, ЕФ бити једна трећина сегмента ЕБ, односно једна трећина х.
Следећи корак, да бисмо пронашли висину тетраедра (ДФ), можемо поново применити Питагорину теорему, јер је, како је висина окомита, угао И тачан (мери 90º).
Гледајући троугао ДЕФ, хипотенуза је ДЕ, што је висина троугла АДЦ, а пошто су све површине једнаке, то је иста висина х троугла АБЦ. Заузврат, један крак је висина тетраедра (ДФ), који ћемо назвати хт, а други крак је сегмент ЕФ који смо већ израчунали. Стога:
На крају, да бисмо пронашли запремину тетраедра (В), како смо претходно објаснили, помножимо висину фигуре (хт) са површином основе (А) која је горе израчуната и поделимо са три:
Пример тетраедра
Под претпоставком да је тетраедар правилан и да му је свака страна лица 20 метара. Колика је површина (АТ) и запремина (В) слике?
