Талесова теорема је закон геометрије који нам говори да ћемо ако се линија повуче паралелно са било којом страном троугла, имати троугао сличан оригиналном троуглу.
Другим речима, ако пресечемо троугао цртајући линију паралелну једној од његових страница, добићемо троугао сличан раније постојећем.
У овом тренутку треба напоменути да су два троугла слична када су им одговарајући углови подударни (мере их исто) и када су њихове хомолошке странице пропорционалне једна другој.
Да бисмо то боље разумели, погледајмо следећу слику:
По Тхалесовој теореми може се закључити да је α = δ и β = ε
Поред тога, као што смо раније поменули, странице су пропорционалне, па је тачно да:
Анегдота коју је повезао историчар Плутарх говори да је Талес из Милета у једном од својих путовања искористио ову теорему да би знао висину пирамида у Гизи (Кеопсове, Кафреове и Менкауреове) у Египту. Стога је одлучио да стави штап вертикално уз земљу, чекајући да дужина предмета буде једнака сенци коју је бацио. У то време би и сенка пирамиде била једнака њеној висини. У овом случају, слични троуглови су:
- Онај чија су две стране штап и његова сенка.
- Троугао чија је једна од страница висина пирамиде, а као друга страница њена сенка.
Да бисмо је боље разумели, замислимо на горњој слици да је пирамида она коју чине врхови Д, Е и Ф, њена висина је сегмент ХЕ, а сенка ИЕ. У међувремену, штап је сегмент АБ, а сенка ЦБ. Према томе, АБ / ЦБ = ХЕ / ИЕ. То узимајући у обзир да су сунчеви зраци паралелни (не прелазе се или у њиховом продужењу), па ће са штапом формирати исти угао као и са пирамидом (углови α и β су једнаки).
Пример Тхалесове теореме
Да бисмо боље разумели Талесову теорему, погледајмо следећу слику:
Ако БЦ мери 7,3 метра, ДЕ мери 3,6 метара, а АБ 6,2 метра. Колика је дужина АД?
Изолујемо у претходно приказаној формули и имамо:
7,3 / 3,6 = 6,2 / АД
2.0278 = 6,2 / АД
АД = 3,0575 метара
Проширење Талесове теореме
Талесова теорема се може проширити на анализу било које две линије које су пресечене другим линијама паралелним једна другој, као што видимо на следећој слици:
Тада је тачно да:
То је тачно јер те линије морамо сматрати делом троугла или, да то видимо на други начин, ако продужимо линије АБ и ЦД, оне ће се пресећи. Боље да то видимо на следећој слици:
Талесова друга теорема
Постоји и друга Талесова теорема према којој, ако имамо троугао формиран пречником обима и две праве које га пресецају (они пресецају фигуру у две тачке), тај угао који је насупрот пречника је тачан, тј. ,, мере 90º.
Треба имати на уму да је пречник онај сегмент који, пролазећи кроз центар обима, спаја две супротне тачке поменуте фигуре.
Горе наведено можемо боље видети на следећој слици:
Ову теорему можемо проверити узимајући у обзир да АЦ, АД и АБ мере исто и једнаки су полупречнику обима (полупречник је било који сегмент који спаја тачку на ободу са центром фигуре и једнак је половини пречник). Дакле, троуглови АБЦ и АБД су једнакокраки и њихове две сличне странице су супротни углови који такође мере исто, то јест:
АЦ = АД = АБ = р (радијус обима)
γ = β и α = δ
Затим, ако видимо троугао ЦБД и сетимо се да се унутрашњи углови троугла морају сабирати до 180º, имамо:
γ + β + α + δ = 180º
2β + 2α = 180º
2 (α + β) = 180º
α + β = 90º
Према томе, ЦБД троугао је правоугли троугао.