Тежиште троугла је тачка у којој се секу медијане лика. Такође је познат као центроид.
Треба имати на уму да је медијана онај сегмент који спаја врх троугла са средином његове супротне странице. Тако сваки троугао има три средње вредности.
На пример, у троуглу изнад, тежиште је тачка О, а медијане су сегменти АФ, БД и ЦЕ.
Важно својство тежишта је да је његово растојање од сваког темена двоструко веће од супротне стране.
Да би се то боље објаснило, у свакој медијани се могу разликовати два дела:
- Удаљеност од темена до тежишта, која износи 2/3 дужине медијане
- Преостала 1/3, што је растојање од тежишта до средње тачке супротне стране.
На слици изнад, на пример, тачно је да:
Како пронаћи тежиште троугла
Да бисмо пронашли тежиште троугла морамо узети у обзир да, знајући координате три темена троугла, координате тежишта одговарају његовој аритметичкој средини. Дакле, претпоставимо да су врхови:
Тада би координате тежишта, које ћемо назвати О, биле:
Такође је могуће пронаћи тежиште ако имамо једначине линија које садрже најмање две средње вредности.
Подсетимо се да се у аналитичкој геометрији линија може изразити као алгебарска једначина првог реда као:
и = км + б
У приказаној једначини, и је координата на оси ордината (вертикална), к је координата на оси апсциса (хоризонтална), м је нагиб (нагиб) који чини линију у односу на осу апсцисе, а б је тачка у којој права пресеца осу ордината.
Да бисмо боље разумели наведено, погледајмо пример.
Пример тежишта
Претпоставимо да имамо троугао од којег знамо два његова врха:
А (0,4) и Б (-2,1)
Даље, даље је познато да је средња тачка странице насупрот темену А (3,1), а средина странице насупрот темену Б (4, 2,5). Вреди појаснити да тачку и зарез користимо како се не бисмо помешали са зарезом који раздваја децимале.
Прво ћемо пронаћи једначину праве која садржи медијану која почиње од темена А, узимајући у обзир да нагиб при преласку из једне у другу тачку мора увек бити исти. Нагиб је варијација у вертикалној оси између варијације у хоризонталној оси:
Оно што смо урадили је да претпоставимо да права пролази кроз тачку (к1, и1), која је врх А (0, 4), и кроз тачку (к2, и2) која је средина њене супротне странице (3, 1).
Затим, радимо исто са теменом Б (-2,1) и средином његове супротне странице (-4, -2,5):
Следећи корак, изједначавамо десну страну две једначине за које је пронађено да решавају вредност на оси Кс када се обе подударају:
Затим у било којој од једначина решавамо да бисмо пронашли вредност и:
Стога је тежиште троугла тачка (2,2) у картезијанској равни.