Биномна расподела је дискретна расподела вероватноће која описује број успеха при извођењу н независних експеримената на случајној променљивој..
Постоји велика разноликост експеримената или догађаја који се могу окарактерисати под овом расподелом вероватноће. Замислите бацање новчића у којем догађај „ударање главом“ дефинишемо као успех. Ако бацимо новчић 5 пута и избројимо поготке (главе) које добијемо, наша расподела вероватноће би одговарала биномној расподели.
Због тога се биномна расподела схвата као низ тестова или испитивања у којима можемо имати само 2 исхода (успех или неуспех), а успех је наша случајна променљива.
Особине биномне расподеле
Да би се случајна променљива могла сматрати биномном расподелом, она мора испуњавати следећа својства:
- У сваком испитивању, експерименту или тесту могућа су само два исхода (успех или неуспех).
- Вероватноћа успеха мора бити константна. Ово је представљено словом п. Вероватноћа окретања глава новчића је 0,5 и то је константно, јер се новчић не мења у сваком експерименту и вероватноће глава су константне.
- Вероватноћа неуспеха такође мора бити константна. Ово је представљено словом к = 1-п. Важно је напоменути да помоћу ове једначине, знајући п или знајући к, можемо добити ону која нам недостаје.
- Резултати добијени у сваком експерименту независни су од претходног. Према томе, оно што се дешава у сваком експерименту не утиче на следеће.
- Догађаји се међусобно искључују, односно не могу се оба догодити истовремено. Није могуће бити мушкарац и жена истовремено или да ће приликом бацања новчића истовремено изаћи главе и репа.
- Догађаји су колективно исцрпни, односно мора се догодити бар један од два. Ако нисте мушкарац, жена сте и, ако баците новчић, ако не искрсне, то морају бити репови.
- Случајна променљива која прати биномну расподелу обично је представљена као Кс ~ (н, п), где н представља број суђења или експеримента, а п вероватноћу успеха.
Формула биномне расподеле
Формула за израчунавање нормалне расподеле је:
Где:
н = број испитивања / експеримената
к = број успеха
п = вероватноћа успеха
к = Вероватноћа квара (1-п)
Важно је напоменути да израз у угластим заградама није матрични израз, већ је резултат комбинационог карактера без понављања. Ово се добија помоћу следеће формуле:
Ускличник у претходном изразу представља факторски симбол.
Пример биномне расподеле
Замислимо да је 80% људи на свету видело финалну утакмицу последњег Светског купа у фудбалу. После догађаја, 4 пријатеља се састају да разговарају.Колика је вероватноћа да су њих 3 видели игру?
Дефинишемо променљиве експеримента:
н = 4 (је укупан узорак који имамо)
к = број успеха, што је у овом случају једнако 3, јер тражимо вероватноћу да су то видели 3 од 4 пријатеља.
п = вероватноћа успеха (0,8)
к = вероватноћа квара (0,2). Овај резултат се добија одузимањем 1-п.
Након дефинисања свих наших променљивих, једноставно замењујемо формулу.
Бројилац факторијела добио би се множењем 4 * 3 * 2 * 1 = 24 и у имениоцу бисмо имали 3 * 2 * 1 * 1 = 6. Дакле, резултат факторијела био би 24/6 = 4 .
Изван заграде имамо два броја. Први би био 0,8 3 = 0,512, а други 0,2 (јер је 4-3 = 1 и сваки број подигнут на 1 је исти).
Стога би наш коначни резултат био: 4 * 0,512 * 0,2 = 0,4096. Ако помножимо са 100, имамо 40,96% вероватноће да су 3 од 4 пријатеља видели финални меч Светског купа.