Црамер-Рао Цота - шта је то, дефиниција и концепт

Црамер-Рао веза (ЦЦР) је минимална варијанса коју, с обзиром на услове регуларности, може да достигне процењивач једног параметра.

Другим речима, тражимо варијансу која је најближа овој доњој граници како бисмо пронашли најбољи процењивач према својствима непристрасности и ефикасности.

Препоручује се читање својстава процењивача

Ова својства се користе када морамо да изаберемо процењивач да бисмо извршили економетријску анализу. Ако желимо да наши резултати буду коначни, најмање ћемо морати да захтевамо да процењивач буде непристрасан и да има најмању могућу варијансу од свих непристрасних проценитеља (ефикасност).

Иако узимамо у обзир све непристрасне проценитеље, када тражимо процењивач минималне варијансе, може се догодити да постоји још један непристрасни процењивач који има мање варијансе.

Да нам не би избегао непристрасни процењивач са минималном варијансом, успостављамо минималну или доњу границу коју варијанса непристрасне процене параметра не може премашити.

Непристрасне проценитеље гледамо само зато што пристрасни проценитељи могу имати одступања мања од ЦЦР.

Формулација

Ми дефинишемо:

ф (Кс; Θ): функција густине вероватноће.

Е (·): математичка нада.

И (Θ): Фисхерове информације о параметру.

Представља "количину информација" о вредности параметра садржаних у посматрању случајне променљиве Кс.

Формула:

Не паничите! Шта на први поглед можемо видети из ове формуле?

• Можемо видети да је то нестрога неједнакост (≥) уместо једнакости (=). То је зато што у неким случајевима не налазимо (не постоји) непристрасни процењивач који достиже ЦЦР везан. Стога кажемо да тражимо варијансу непристрасног процењивача која је што ближа овој доњој граници. Поред тога, ЦЦР нам говори колика ће бити минимална варијанса проценитеља, испод ове цифре не може се наћи.
• Десни део (вар (Θ ’) је варијанса процене нашег параметра.
• Леви део (1 / Ј (Θ)) је непремостиви минимум варијансе.
• Ако тражимо (апсолутни) минимум за варијансу проценитеља Θ, логично је да се појаве делимични изводи (дериват у односу на Θ).
  • У економији се делимични деривати користе у условима првог и другог реда како би се оптимизовале функције корисности: пронађите релативни и апсолутни максимум и минимум.
  • ЦЦР користи први делимични извод параметра Θ на функцији густине вероватноће ф (Кс; Θ)
  • Ради лакшег израчунавања, у неким случајевима се за добијање ЦЦР користе други дериватни и алтернативни Фисхерови подаци.

Проценитељи који, уколико су непристрасни, имају варијансу једнаку ЦЦР, тада ће се сматрати најефикаснијим. Слично томе, они непристрасни чија је варијанса ближа сматраће се релативно ефикаснијим од осталих проценитеља (даље).