Чебишевљева неједнакост је теорема која се користи у статистици која пружа конзервативну процену (интервал поузданости) вероватноће да ће случајна променљива са коначном варијансом бити на одређеној удаљености од свог математичког очекивања или њене средње вредности.
Његов формални израз је следећи:
Кс = Процењена вредност
µ = Математичко очекивање процењене вредности
Ϭ = Стандардна девијација очекиване вредности
к = Број стандардних одступања
Полазећи од овог општег израза и развијајући део који остаје у апсолутној вредности, имали бисмо следеће:
Ако обратимо пажњу на претходни израз, може се видети да део лево није већи од а интервал поверења. Ово нам нуди и доњу и горњу границу за процењену вредност. Стога нам неједнакост Чебишева говори о минималној вероватноћи да је параметар популације унутар одређеног броја стандардних одступања изнад или испод своје средње вредности. Или другачије речено, даје нам вероватноћу да је параметар популације унутар тог интервала поузданости.
Чебишевљева неједнакост даје приближне границе за процењену вредност. Упркос одређеном степену непрецизности, то је врло корисна теорема јер се може применити на широк спектар случајних променљивих без обзира на њихову расподелу. Једино ограничење да бисмо могли да користимо ову неједнакост је да к мора бити веће од 1 (к> 1).
Математичка неједнакостПример примене Чебишевљеве неједнакости
Претпоставимо да смо менаџери инвестиционог фонда. Портфељ којим управљамо има просечан принос од 8,14% и стандардну девијацију од 5,12%. Да бисмо, на пример, знали колики проценат наших приноса представљају најмање 3 стандардне девијације од наше просечне профитабилности, једноставно бисмо применили претходну формулу израза 2.
к = 1,96
Замена вредности к: 1- (1 / (1,96 2)) = 0,739 = 73,9%
То значи да је 73,9% резултата у интервалу поузданости који се налази на 1,96 стандардних одступања од средње вредности.
Урадимо претходни пример за вредности које нису к.
к = 2,46
к = 3
Замена вредности к: 1- (1 / (2,46 2)) = 0,835 = 83,5%
Замена вредности к: 1- (1 / (3 2)) = 0,889 = 88,9%
Постоји 83,5% података који су на удаљености од 2,46 стандардних одступања од средње вредности и 88,9% који су унутар 3 стандардне девијације средње вредности.
Користећи Чебишевљеву неједнакост, лако је закључити да што је већа вредност К (што је веће одступање процењене вредности од њене средње вредности), то је већа вероватноћа да је случајна променљива унутар ограниченог интервала.
КуртосисТеорема о централној границиНеједнакост