Симетрична матрица је матрица реда н са истим бројем редова и колона где је њена транспонована матрица једнака оригиналној матрици.
Другим речима, симетрична матрица је квадратна матрица и идентична је матрици након замене редова за колоне и колона за редове.
Захтеви
Да би било која матрица била симетрична матрица, она мора испуњавати следећа ограничења:
Дата је симетрична матрица П. реда н,
- Бити квадратна матрица.
Број редова (н) мора бити једнак броју колона (м). Односно, редослед матрице мора бити н с обзиром да је н = м.
- Оригинална матрица мора бити једнака својој транспонована матрица.
Демонстрација:
Својства
- Придружена матрица симетричне матрице је такође симетрична матрица.
Демонстрација:
- Сабирање или одузимање две симетричне матрице резултира другом симетричном матрицом.
Демонстрација:
Дате су две симетричне матрице П. И. Т. реда 3, добијамо још једну симетричну матрицу С. од збира.
Зашто се назива симетрична матрица?
Својство симетрије дају елементи око главне дијагонале. Пошто је квадратна матрица симетрична матрица, она ће увек имати једнак број елемената изнад и испод главне дијагонале. Ови елементи су исти симетрично. Односно, главна дијагонала делује попут огледала.
Доказ симетрије и искривљености матрице
Симетрична матрица
Писмо д представља елементе главне дијагонале. Остала слова представљају било који стварни број. Видимо да се главна дијагонала понаша као огледало: одражава елементе са обе стране. Другим речима, када су елементи са обе стране дијагонале симетрично једнаки, кажемо да је матрица П. је симетрична матрица.
Несиметрична матрица
Матрик Икс То није симетрична матрица, јер није квадратна матрица и њена транспонована матрица се разликује од изворне матрице. Поред тога, нема ни главну дијагоналу.
Идентитет матрица