Равнотежни модели на каматним стопама су модели равнотеже засновани на Бровновом геометријском процесу и на ризичној неутралности краткорочних каматних стопа.
Другим речима, равнотежни модели каматних стопа користе краће каматне стопе за израчунавање будућих каматних стопа узимајући у обзир рочну структуру каматних стопа.
Као референцу за краткорочне каматне стопе користићемо каматне стопе обвезнице са нула купона. Пример би били шпански трезорски записи издати у кратком року.
Препоручене ставке: обвезница без купона, опција и средња реверзија.
Временска структура цена обвезница без купона добијена је из Бровнова геометријског процеса који бележи бесконачно мале промене краткорочних каматних стопа.
Цене обвезница без купона користе се за вредновање цена опција без купона и опција купонских обвезница.
Дакле, да бисмо израчунали будуће цене обвезница са нула-купоном, потребне су нам краткорочне камате са нула-купоном. На тај начин такође можемо изградити криву или временску структуру нултог купона. Једном када имамо кривуљу, можемо утврдити развој дугорочних каматних стопа с обзиром на краткорочне каматне стопе.
Структура рокова или крива каматних стопа обвезница са нула купона израчунатих из модела Васицек:
Претпоставке модела равнотеже о каматним стопама
Претпоставке модела су:
- Неутралност ризика.
Неутрални ризик претпостављамо као класичну претпоставку за процену имовине на финансијским тржиштима. Ова претпоставка је кључна за добијање цене обвезнице коришћењем Монте Царло симулације.
- Лог-нормална расподела обвезница и каматних стопа.
Претпостављамо лог-нормалну расподелу, јер каматне стопе представљамо позитивну променљиву попут цена обвезница. Не би имало смисла процењивати обвезнице са негативном ценом. Под претпоставком лог-нормалне расподеле каматних стопа можемо рећи да ће каматне стопе следити Бровнов геометријски процес. Да је расподела каматних стопа нормална расподела, тада бисмо рекли да каматне стопе следе Бровнов аритметички процес.
Модели равнотеже са једним фактором
Једнофакторски равнотежни модели су модели за израчунавање рочне структуре каматних стопа из краткорочних каматних стопа.
Кажемо за један фактор, јер ризик или несигурност даје један фактор: волатилност каматних стопа. Постоје двофакторски модели равнотеже који пружају више могућности у кретању каматних стопа.
Математички дефинишемо једнофакторски равнотежни модел облика:
Где,
- р (т): краткорочне каматне стопе у тренутку т.
- др: промена каматних стопа (р) током времена (дт).
- дт: проток времена = еволуција времена.
- м (р) дт: правац или тренд (м) узет по каматним стопама (р) током времена (дт).
- с (р): стандардна девијација каматних стопа (р).
- дЗ: случајна компонента или сметња која прати нормалну расподелу са средњом вредношћу 0 и варијансом 1.
Горњи израз познат је под називом а стохастичка диференцијална једначина изражено кроз Ито процес.
Врсте модела
Најчешћи једнофакторски равнотежни модели су:
- Рендлеманов и Барттеров модел.
- Модел Васицек.
- Цок, Ингресолл и Росс модел.