Комбинаторика без понављања

Комбинаторике без понављања се подразумевају као различити скупови који се могу формирати помоћу «н» елемената, изабраних из к у к. Сваки скуп се мора разликовати од претходног бар у једном од својих елемената (редослед није важан) и они се не могу поновити.

Комбинаторика без понављања је уобичајена употреба у статистици и математици. Ово одговара многим стварним животним ситуацијама и његова примена је прилично једноставна.

Узмимо за пример студента који има испит од 4 питања. Од 4 питања мора да изабере три. Колико различитих комбинација би ученик могао да направи? Ако мало разложимо, видели бисмо (без стварне примене формуле) да би студент могао да бира како да одговори на 3 питања на четири различита начина.

• Скуп / опција 1: Одговорите на питања 1,2,3.
• Скуп / опција 2: Одговорите на питања 1,2,4.
• Скуп / опција 3: Одговорите на питања 1,3,4.
• Скуп / опција 4: Одговорите на питања 2,3,4.

Као што видимо, ученик може да формира 4 скупа (н) од 3 елемента (к). Према томе, комбинаторика без понављања говори нам како да формирамо или групишемо коначну количину података / запажања, у групама одређене величине, а да ниједан елемент не може да се понови у свакој групи. Ово је главна разлика између комбинаторног са понављањем (елементи у свакој групи се могу поновити) и комбинаторног без понављања (ниједан елемент се не може поновити у свакој групи)

Да у овом примеру истакнемо да је реч о комбинаторици без понављања, јер студент не може да изабере да поставља било које питање више пута. Стога се елементи скупова не могу поновити.

У претходном случају, с обзиром на то да је укупан број елемената мали, а количина скупа велика, број опција је мали и може се лако закључити без примене формуле. У случају директне примене формуле, бројилац би био 24 (4 * 3 * 2 * 1), а именитељ 6 (3 * 2 * 1 * 1) са којим бисмо на исти начин дошли до израчуна без размишљања о томе како бисмо та четири питања могли да групишемо у три.

Како израчунати комбинаторику без понављања?

Формула комбинације без понављања је:

Где:

• н = Укупно запажања
• Икс = Број изабраних ставки

Пример комбинаторни без понављања

Замислимо војни вод од 12 војника. Војни капетан жели да формира групе од по 2 војника да би се инфилтрирали иза непријатељских линија на различитим тачкама, колико различитих група би могао да формира?

Да бисмо решили проблем, прво морамо да идентификујемо укупан број елемената. У овом случају има укупно 12 војника, стога већ имамо свој н. Пошто капитен жели групе од по 2, већ знамо колики је наш х. Знајући ово, могли бисмо заменити у формули и имати број групних комбинација 2.

• н = 12
• Икс = 2

При замени:

Примењујући факторијел за називник, имали бисмо 12 * 11 * 10 * … * 1 = 479.001.600. За називник имамо 2 * 1 * 10 * 9 * 8… * 1 = 7.257.600. Наш комбинаторни број је = 479,001.600 / 7.257.600 = 66.

Као што видимо, капетан може да формира 66 различитих парова војника међу 12 колико их има.