Централна гранична теорема (ТЦЛ) је статистичка теорија која каже да ће, с обзиром на довољно велики случајни узорак популације, расподела средстава узорка следити нормалну расподелу.
Даље, ТЦЛ наводи да ће се повећањем величине узорка средња вредност узорка приближавати средњој популационој вредности. Према томе, помоћу ТЦЛ можемо дефинисати дистрибуцију средње вредности узорка одређене популације са познатом варијанцом. Дакле, расподела ће следити нормалну расподелу ако је величина узорка довољно велика.
Главна својства теореме о централној граници
Теорема о централној граници има низ веома корисних својстава у статистичком и вероватножном пољу. Главни су:
- Ако је величина узорка довољно велика, расподела средстава за узорак приближно следи нормалну расподелу. ТЦЛ сматра узорак великим када је његова величина већа од 30. Према томе, ако је узорак већи од 30, средња вредност узорка имаће функцију расподеле близу нормалне. И ово је тачно без обзира на облик дистрибуције са којим радимо.
- Средња вредност популације и средња вредност узорка биће исте. Односно, средња вредност дистрибуције свих узорачких средстава биће једнака средњој вредности укупне популације.
- Одступање расподеле средстава узорка биће σ² / н. Која је варијанса популације подељена величином узорка.
То што дистрибуција узорка значи да подсећа на нормалну, изузетно је корисно. Будући да се нормална расподела врло лако примењује за спровођење тестова хипотеза и изградњу интервала поверења. У статистикама је прилично важна дистрибуција, јер многе статистике захтевају ову врсту дистрибуције. Поред тога, ТЦЛ ће нам омогућити да закључимо о средњој вредности популације кроз средњу вредност узорка. А ово је веома корисно када због недостатка средстава не можемо прикупити податке од целе популације.
Пример централне граничне теореме
Замислимо да желимо да анализирамо историјске просечне приносе индекса С&П 500, који, како знамо, има око 500 компанија у себи. Али немамо довољно информација да бисмо анализирали свих 500 компанија у индексу. У овом случају, просечна профитабилност С&П 500 била би просек становништва.
Сада, пратећи ТЦЛ, можемо узети узорак од ових 500 компанија да бисмо извршили анализу. Једино ограничење које имамо је да у узорку мора бити више од 30 компанија да би се теорема испунила. Дакле, замислимо да случајно одаберемо 50 компанија из индекса и поновимо поступак неколико пута. Кораци које треба следити у примеру били би следећи:
- Одабиремо узорак од око 50 компанија и добијамо просечну профитабилност целог узорка.
- Континуирано бирамо 50 компанија и постижемо просечну профитабилност.
- Расподела свих просечних приноса свих изабраних узорака приближно је нормална расподела.
- Просечни приноси свих одабраних узорака приближни су просечним приносима укупног индекса. Као што показује централна гранична теорема.
Стога, закључивањем из просечног приноса узорка можемо приступити просечном приносу индекса.