Модул вектора и питагорејска теорема

Модул вектора је дужина сегмента оријентисаног у простору који је одређен двема тачкама и њиховим редом.

Другим речима, модул вектора је дужина између почетка и краја вектора, односно где стрелица почиње и где се завршава.

С обзиром на било који дводимензионални вектор:

Информације које нам дају координате вектора, а то су вк и ви, су његова дужина за к осу, односно дужина за и осу.

Дакле, ако знамо координате можемо израчунати модул вектора.

Модул вектора и питагорејска теорема

Да ли вас претходни цртеж не подсећа на геометријску фигуру?

Тачно, можемо замислити да координатне осе поред вектора чине правоугаоник са основом вк и висином ви. Овај правоугаоник можемо поделити на два симетрична троугла, то јест, оба ће имати исту основу и висину.

Плаво осенчени троугао има основу вк и висину ви. Дакле, знајући ове информације можемо знати и њихову хипотенузу. Постоји врло позната теорема позната као Питагорина теорема која се користи за ове прорачуне.

Демонстрација

Знамо да је питагорејска формула следећа:

Где је х хипотенуза, ц је једна нога, а ц је друга нога.

У нашем случају знамо колико вреде наше ноге, другим речима, база и висина. Дакле, те информације можемо укључити у једначину:

Настављамо са уклањањем квадрата х применом квадратног корена:

Ако кажемо да је вк = 3 и ви = 6:

Према томе, да је в вектор са координатама (3,6), тада бисмо знали да је његов модул 6,7082. Тачно, његов модул, јер је формула за модул било ког вектора в:

Видимо да се управо подаци који нам недостају у једначини поклапају са хипотенузом. Другим речима, дужина вектора је оно што желимо да израчунамо, а хипотенуза је дијагонала троугла. Стога можемо закључити да је употреба Питагорине теореме за израчунавање модула вектора ваљана метода.

Дакле, ако треба да израчунамо модул вектора и не сећамо се формуле, можемо размишљати о Питагориној теореми и решити проблем.

Вежба решена

Израчунајте модул вектора в са координатама (-3, -6) применом Питагорине теореме.

Модул вектора в са координатама (-3,6) израчунат из формуле Питагорине теореме такође је 6.7082.