Санктпетербуршки парадокс је парадокс који је уочио Николаус Берноулли и који има свој разлог за коцкање. Овај парадокс нам говори да су у теорији одлучивања прихваћене све опкладе, без обзира на њихову вредност, чак и ако нам наведена вредност показује да то није рационална одлука.
Петербуршки парадокс, да бисмо га правилно разумели, био је парадокс који је описао Ницолаус Берноулли, након посматрања коцкања, због чега тај парадокс и постоји.
Теорија игараУ том смислу, парадокс нам говори да нам теорија формулисаних одлука показује да је рационална одлука у игри клађења све, без обзира на износ који свака опклада претпоставља. Међутим, правилно анализирајући ову ситуацију и прецизно се бавећи теоријом, примећујемо да ниједно рационално биће не би донело одлуку да се клади на износ новца близу бесконачности, иако теорија указује на то да је рационална. Из тог разлога настаје парадокс.
У почетку, парадокс примећује Николаус Берноулли, како се чини у писму које је 9. септембра 1713. послао Пиерреу де Монтморт-у, француском аристократи и математичару.
Међутим, пошто Николајева студија није дала резултате, он је представио парадокс свом рођаку Данијелу Бернулију 1715. године, математичару холандског порекла и ректору Универзитета у Базелу, који се, састајући се у Санкт Петербургу са истакнутом групом научника, а након године истраживања, објавио је 1738. нови систем мерења у свом раду „Излагање нове теорије у мерењу ризика“.
Модел који је предложио Данијел, за разлику од оног који је предложио Николај, поставља темеље онога што ће касније дорадити и употпунити теорију очекиване корисности.
Формула парадокса из Санкт Петербурга
Формулација коју је Николаус Берноулли предложио свом рођаку и Пиерре де Монтморт-у је следећа:
Замислимо коцкарску игру, у којој играч, очигледно, мора да плати износ да би учествовао.
Претпоставимо да се играч клади на репове и баца новчић сукцесивно до краја. Након репова, игра се зауставља и играч добија $ 2 н.
Дакле, ако је реп, играч прво осваја 2 1, што је 2 долара. Али ако се репови поново јаве, добиће 2 2, што је 4 долара, и тако даље. Ако поново изађе, биће 8 долара, што је еквивалент 2 3; док ће, ако изађе четврти пут, награда бити 16 долара, што представља представљање 2 4.
Дакле, Николајево питање је било следеће: Узимајући у обзир горе поменути редослед и профит, колико би играч био спреман да плати за ову игру без губитка рационалности?
Пример парадокса из Санкт Петербурга
Узимајући у обзир формулацију коју је предложио Николај и сумњу коју је поставио француском математичару и његовом рођаку, погледајмо разлог овог парадокса, на пример, да бисмо разумели на шта мислимо.
Пре свега, морамо знати да, пре него што утакмица почне, имамо бесконачно много могућих исхода. Па, чак и ако је вероватноћа 1/2, репови се можда неће појавити до 8. бацања.
Према томе, вероватноћа да се овај крст појави на бацању к је:
Пк = 1 / 2к
Такође, добит је 2к.
Настављајући са развојем, први репови на 1. колу имају добитак од 21 ($ 2) и вероватноћу од 1/2. Репови у 2. покушају имају добитак од 22 (4 долара) и вероватноћом од 1/22; док, ако заостаје у трећем покушају, играч има победу од 23 (8 долара) и вероватноћу 1/23. Као што видимо, однос који се протеже све док додајемо трчања.
Пре него што наставите, треба напоменути да у теорији одлучивања математичким очекивањем (ЕМ) или очекиваном победом у утакмици називамо збир награда, повезан са сваким од могућих резултата игре, и све оне пондерисане вероватноћа да ће се догодити сваки од ових исхода.
Ако узмемо у обзир приступ који показује овај парадокс, видимо да је приликом играња вероватноћа добитка 2 долара 1/2, али, поред тога, вероватноћа добитка 4 је 1/4, док је победа од 8 долара 1/8. То је све док се не дође до ситуација као што је освајање 64 долара, вероватноћа за овај случај је 1/64.
Дакле, овим резултатима, ако израчунамо математичко очекивање, или оно што знамо као очекивану победу у игри, морамо додати добитак свих могућих исхода пондерисаних вероватноћом њиховог настанка, тако да нам резултат показује бесконачно вредност.
Ако следимо теорију избора, она нам говори да бисмо се требали кладити у било који износ због једноставне чињенице да је свака одлука за нас повољна. Чињеница да је то парадокс је зато што се, рационално, играч неће кладити у недоглед, чак и ако га теорија на то тера.
Истакнути парадокс
Многи су математичари покушали да одгонетну парадокс који је предложио Берноулли, међутим, има их и који нису успели да га реше.
Стога постоје бројни примери који нам показују како су парадокс покушали да реше математичари који су се бавили и структуром игре и одлукама самих појединаца. Међутим, до данас још увек не можемо да нађемо валидно решење.
И то је да, да бисмо стекли представу о сложености овог парадокса, узимајући у обзир теорију избора у овом примеру, претпостављамо као могућу награду, након израчунавања, бесконачан број новчића који, чак и под претпоставком да је то било могуће, то би било неспојиво са самим монетарним системом, јер је то новац који је, супротно ономе што парадокс каже, ограничен.
